经典贝叶斯逆概率问题
必考题目
按以往考试结果分析，努力学习的学生有 $90\%$ 的可能考试及格，不努力学习的学生有 $90\%$ 的可能考试不及格。据调查，学生中有 $80\%$ 的人是努力学习的。问：
- 考试及格的学生有多大可能是不努力学习的人？
- 考试不及格的学生有多大可能是努力学习的人？
解题模板
- 设事件：把"原因"设成 $A$（努力学习），把"结果"设成 $B$（考试及格），并写出对立事件 $\bar A,\bar B$。
- 抄条件：把题干四句话逐句翻译成 $P(B|A)$、$P(\bar B|A)$、$P(\bar B|\bar A)$、$P(B|\bar A)$，注意"不努力也不及格"对应的是 $P(\bar B|\bar A)$。
- 求分母：用全概率公式算 $P(B)$ 或 $P(\bar B)$。
- 代贝叶斯：把单个分支的乘积放到分子，分母放上一步结果。
规范解答
设 $A$＝"学生努力学习"，$B$＝"考试及格"。由题意：
$P(A)=0.8,\ P(\bar A)=0.2$；
$P(B|A)=0.9,\ P(\bar B|A)=0.1$；
$P(\bar B|\bar A)=0.9,\ P(B|\bar A)=0.1$。
(1) 求 $P(\bar A|B)$
全概率公式（分母）：
$$P(B)=P(A)P(B|A)+P(\bar A)P(B|\bar A)=0.8\times0.9+0.2\times0.1=0.74$$
贝叶斯公式（分子取单支）：
$$P(\bar A|B)=\frac{P(\bar A)P(B|\bar A)}{P(B)}=\frac{0.2\times0.1}{0.74}=\frac{1}{37}\approx2.70\%$$
(2) 求 $P(A|\bar B)$
先算分母：$P(\bar B)=1-P(B)=0.26$，故
$$P(A|\bar B)=\frac{P(A)P(\bar B|A)}{P(\bar B)}=\frac{0.8\times0.1}{0.26}=\frac{4}{13}\approx30.77\%$$
核心公式
完备事件组 $A_1,\dots,A_n$：$P(B)=\sum_i P(A_i)P(B|A_i)$， $P(A_i|B)=\dfrac{P(A_i)P(B|A_i)}{P(B)}$。
易错批注
① 题干"不努力学习有 $90\%$ 不及格"给出的是 $P(\bar B|\bar A)=0.9$，不是 $P(B|\bar A)$，抄错这个数整题崩。
② 问的是"及格的人里有多少不努力"，即 $P(\bar A|B)$，条件和目标不能写反。
口诀先设因、后设果；分母全概率，分子单支乘。